理解仿射变换

参考

前言

最近看了一些unity shader相关的教程，发现unity中的变换矩阵全部都用的是四维矩阵，而不是三维矩阵，进一步查资料发现，在3D图形渲染领域中，涉及到矩阵变换的地方，基本都用的是四维矩阵，那么既然是三维线性空间的变换，为什么要用四维矩阵呢？

仿射变换

实际上，使用四维矩阵是为了计算仿射变换，那么什么是仿射变换呢？

仿射变换，简单来说，就是线性变换和平移两者的结合，即，仿射变换=线性变换+平移

为什么要引入仿射变换

我们知道，线性变换在变换前后，向量的起点始终位于坐标系原点，不会变化，因此线性变换基本上只能表示向量缩放和旋转两种操作，如果我们想表达一个点或一个向量的平移，是无法用线性变换来表示的。

举个例子，对于向量$\vec{a}$ $$\vec{a}= \begin{bmatrix} 1\cr 2\cr \end{bmatrix} $$ 我们想将其向x轴方向平移1个单位，向y轴方向平移2个单位，得到向量$\vec{b}$，即 $$\vec{b}=\vec{a} + \begin{bmatrix} 1\cr 2\cr \end{bmatrix} $$

如果用线性变换的方法去表示这个操作，最终得到的是 $$\vec{b}= \begin{bmatrix} 2\cr 4\cr \end{bmatrix} $$

那么显然，从向量 $\vec{a}$ 变到向量 $\vec{b}$ 后，$\vec{b}$ 的起点还是在坐标原点，实际上是对 $\vec{a}$ 做了一个旋转+拉伸，并不能体现出平移操作。

仿射变换的表示方法

为了表示向量的平移操作，我们将仿射变换表示为以下形式 $\(\vec{c}= A\vec{a} + \vec{b}$\) $$\vec{b}= \begin{bmatrix} t_x\cr t_y\cr \end{bmatrix} $$ 其中，$A$ 代表对向量 $\vec{a}$ 所做的线性变换，$\vec{b}$ 代表平移量，即，将 $\vec{a}$ 向x轴方向移动 $t_x$ 个单位，向y轴方向移动 $t_y$个单位，$\vec{c}$ 是最终得到的向量

为了方便仿射变换的运算，将仿射变换也表示成矩阵运算，我们可以给向量加一个维度，将其表示为以下形式，新增的维度称为齐次坐标

\[\begin{bmatrix} \vec{c}\cr 1\cr \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b}\cr 0 & 1\cr \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{a}\cr 1\cr \end{bmatrix} \]

可以看到，经过计算后 $\vec{c}$ 仍然等于 $A\vec{a} + \vec{b}$，但是计算的形式却变为了和线性变换一样的矩阵运算形式

当向量 $\vec{a}$ 新增的一维为0时，仿射变换就退化为了线性变换，即

\[\begin{bmatrix} \vec{c}\cr 0\cr \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b}\cr 0 & 1\cr \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{a}\cr 0\cr \end{bmatrix} \]

此时，$\vec{c}= A\vec{a}$