games101 五、材质

漫反射材质

Diffuse / Lambertian Material

对于漫反射材质，我们认为一束入射光线会向四面八方反射，根据前面所学内容，其中某一束反射光和入射光能量存在一个比例 \(f_r\)，在光线追踪中，我们将其称为 brdf。

光线追踪的渲染方程体现出一种入射光和反射光的能量关系，一束出射光 \(L_o(\omega_o)\) 是所有入射光 \(L_i(\omega_i)\) 经过材质反射后的总和（注意，这里所说的出射光不是某个入射光的反射分量，而是所有入射光的积分总和）：

\[ L_o(\omega_o)=\int_{H^2} f_r\,L_i(\omega_i)\,\cos\theta_i\,\mathrm{d}\omega_i \]

假设入射光和反射光都是均匀的，这意味着 \(L_i(\omega_i)\) 和 \(f_r\) 都是常数，那么上式可以简化为：

\[ L_o(\omega_o)=f_r\,L_i\int_{H^2} \cos\theta_i\,\mathrm{d}\omega_i = \pi\,f_r\,L_i \]

当一束入射光能量和反射光能量相等时，意味着入射光和出射光能量守恒，材质完全不吸收能量，即，

\[\pi\,f_r = 1 \implies f_r = \frac{1}{\pi}\]

我们可以定义一个反射率 \(\rho\)（albedo），范围为 0~1，体现材质反射多少光，\(\rho=1\) 表示完全反射，\(\rho=0\) 表示完全吸收，那么，最终的漫反射 brdf 定义为：

\[f_r = \frac{\rho}{\pi}\]

如果 \(\rho\) 是一个三通道的颜色值（三个 0~1 范围内的值），则可以定义不同颜色的 brdf，这就是漫反射材质的定义。

漫反射材质渲染出的颜色可以看作是物体的本色。

光泽材质

Glossy Material

不完全是镜面反射，也不完全是漫反射，比如一个磨砂的金属表面。

理想反射材质

Ideal Reflective Material(BSDF)

这是指水面或者玻璃这种既能反射又能折射的材质。

完美镜面反射

Perfect Specular Reflection

令 入射光 \(\omega_i\)、出射光 \(\omega_o\)、法线 \(\mathbf{n}\) 都以表面上的一点为原点指向空中，入射角为 \(\theta_i\)，出射角为 \(\theta_o\)，它们满足以下关系：

\[ \theta = \theta_i = \theta_o \]

\[ \omega_i + \omega_o = 2(\omega_i \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} = 2\cos\theta\,\mathbf{n} \]

如果从上往下看，入射光和出射光分别有一个方位角 \(\phi_i\) 和 \(\phi_o\)，它们满足：

\[ \phi_o = (\phi_i + \pi) \mod 2\pi \]

镜面折射

Specular Refraction

斯涅尔定律：

\[ \eta_i \sin\theta_i = \eta_t \sin\theta_t \]

其中 \(\eta_i\) 和 \(\eta_t\) 分别是入射介质和折射介质的折射率，\(\theta_i\) 和 \(\theta_t\) 分别是入射角和折射角。

常见介质的折射率：

介质	折射率 \(\eta\)
真空	1.0
空气（海平面）	1.00029
水（20°C）	1.333
玻璃	1.5–1.6
金刚石	2.42

从公式和图像上可以看出来，如果折射率更大的那一侧的角度大于一个临界值，是没有折射光的，这就是全反射现象。

斯涅尔窗效应：

前面讲到的光线追踪的 BRDF 函数，对折射来讲应该叫 BTDF，二者合起来叫 BSDF（双向散射分布函数）。

菲涅尔反射

Fresnel Reflection

一束入射光线会有一部分光线被反射，另一部分光线被折射，入射角越大，反射的光线越多，折射的光线越少，这就是菲涅尔反射现象。

不同材质的菲涅尔现象差距很大，准确的反射率计算公式非常复杂，通常我们会用一个近似的计算方法，叫做 Schlick 近似：

\[ R(\theta)=R_0+(1-R_0)(1-\cos\theta)^5 \]

\[ R_0=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2 \]

其中 \(n_1\) 和 \(n_2\) 分别是入射介质和折射介质的折射率，\(\theta\) 是入射角。

\(R_0\) 表示入射角为 0 时的反射率，\(R(\theta)\) 表示入射角为 \(\theta\) 时的反射率。

微表面理论

Microfacet Theory

一个凹凸不平的表面，从远处看（Macroscale），看起来是个粗糙的平面，但从近处看（Microscale），它是由很多小的平面组成的，每个小平面都可以看成是一个完美的镜面反射表面，这些小平面叫做微表面（Microfacet）。

简单来说，离近了看，看到的是一个复杂的几何结构，离远了看，看到的是一整个平面或者一种材质。

根据这个理论，可以将不同的材质看作是不同的法线分布，比如漫反射材质（Diffuse Material）可以看作是一个法线方向比较分散的材质，而光泽材质（Glossy Material）可以看作是一个法线方向比较集中的材质。

有了这个理论，我们可以将 BRDF 中的反射比例 \(f_r\) 写成更具体的形式：

\(F\) 是菲涅尔项，代表平面的反射率，\(D\) 是微表面的法线分布，只有当微表面的法线方向和半程向量方向一致时，才会有反射，法线分布描述的是微表面法线方向和半程向量方向一致的概率， \(G\) 代表微表面之间的相互遮挡程度。

各向同性/各向异性材质

Isotropic/Anisotropic Material

各向同性：微表面没有明显的方向性，比如一个磨砂的金属表面。

各项异性：微表面有明显的方向性，比如一个拉丝的金属表面。

对于各项异性表面，入射光线的方位角变换， \(f_r\) 也会随之变化。

BRDF 的性质

非负：\(f_r(\omega_i, \omega_o) \geq 0\)

线性：一个点的着色结果可以拆成多个部分单独计算，最后再加起来。

可逆：如果入射光线和出射光线交换位置，BRDF 的值不变，即 \(f_r(\omega_i, \omega_o) = f_r(\omega_o, \omega_i)\)。

能量守恒：对于任何入射光线 \(\omega_i\)，所有出射光线 \(\omega_o\) 的反射比例之和不能超过 1。

各项异性和各向同性：对于各向同性材质，BRDF 的值只与入射光线和出射光线的相对方位角有关；对于各项异性材质，BRDF 的值还与绝对方位角有关。

测量 BRDF

现实中有一种材质，我们希望知道渲染这种材质时应该使用什么样的 BRDF，这时我们就需要测量这个材质的 BRDF。

一种方法是使用一个光源和一个相机，分别放在不同的位置，测量入射光线和出射光线的能量，然后根据 BRDF 的定义计算出 BRDF 的值。

MERL BRDF 数据库：一个公开的 BRDF 数据库，里面包含了很多不同材质的 BRDF 数据，可以用来渲染这些材质。

其他光线追踪方法

无偏和有偏蒙特卡洛估计

无偏（Unbiased）就是指估计的期望值等于真实值，有偏（Biased）就是指估计的期望值不等于真实值，如果有偏估计的样本值足够多，使得估计值足够接近真实值，这时叫做一致的有偏估计（Consistent）。

双向路径追踪（BDPT）

Bidirectional Path Tracing.

核心思路是分别从光源和相机出发，生成两条光线路径，最后将两条路径连接起来，形成一条完整的光线路径，这样可以更高效地采样到一些重要的路径，比如直接从光源到相机的路径。

实现困难并且计算量很大。

Metropolis 光线传播

Metropolis Light Transport.

这时另外一种光线追踪方法，叫做 Metropolis 光线传播。

Metropolis 光线传播利用了马尔科夫链蒙特卡洛方法（MCMC）进行采样，这个方法可以以任意形状的概率密度函数进行采样，之前在蒙特卡洛方法中提到过，蒙特卡洛方法的效果很大程度上取决于采样的概率密度函数，概率密度函数和被积函数的形状越接近，效果越好，而马尔科夫链能生成任意形状的概率密度函数。

Metropolis 光线传播的核心思路是，首先生成一条光线路径，然后在这条路径的基础上进行一些小的变动，生成一条新的路径，如果新的路径比旧的路径更重要（比如说它的贡献更大），就接受这条新路径，否则就拒绝这条新路径，继续使用旧的路径，这样就形成了一个马尔科夫链，最终可以得到一个很好的采样结果。

收敛速度不确定，上一帧和下一帧的结果可能差距很大。

光子映射

Photon Mapping.

是一种有偏估计。

适合处理镜面-漫反射-镜面这种渲染路径，适合渲染caustics（焦散）效果。

Vertex Connection and Merging

双向路径追踪和光子映射的结合。

实时辐射度算法

Instant Radiosity（IR）.

光源发出的光线照射到物体表面后，会在表面上形成一个虚拟的点光源，叫做虚拟点光源（Virtual Point Light，VPL），这些虚拟点光源可以用来近似地计算间接照明，从而实现实时渲染。

外观建模

外观建模（Appearance Modeling）是指如何通过一些参数来描述一个材质的外观，这些参数可以是颜色、粗糙度、金属度等等，这些参数会改变 BRDF 函数形状，从而控制材质的外观。

非表面材质模型

散射介质

Participanting Media

云、雾等非表面材质，光线进去以后会被吸收和散射。

头发

Hair appearance model.

Kajiya-Kay 模型：一种简单的头发渲染模型，效果不太好。

Marschner 模型：一种更复杂的头发渲染模型，可以非常逼真地模拟头发的光学特性。

动物毛发

Fur appearance model.

Double Cylinder 模型。

颗粒材质

Granular Material

一粒一粒的材质，比如一堆小米、一堆绿豆、一堆沙子等等。

表面材质模型

透射材质

Translucent Material

和半透明不太一样，光线在材质内部会发生散射，这种材质是指会透光的材质，例如玉石。

次表面散射（Subsurface Scattering）模型：一种模拟透射材质的渲染模型，把 BRDF 扩展为了 BSSRDF，可以更逼真地模拟透射材质的光学特性，计算量较大。

Dipole Approximation：一种次表面散射模型的近似方法，可以更高效地计算次表面散射效果。

BSSRDF 方法可以把人脸渲染得非常逼真。

布料

布料渲染大概有三种方法：

1. 将布料看作是一个表面，直接测量布料的 BRDF，然后用这个 BRDF 来渲染布料。
2. 将布料看作是一个体积，光在布料内部发生散射，然后用体积渲染的方法来渲染布料。
3. 将布料看作是由很多细小的纤维组成的，像渲染头发一样一根一根渲染布料上的纤维。

细节渲染

一个现实中存在的复杂场景，经常会因为渲染的过于完美而显得不真实，现实中的物体表面通常会有一些细微的瑕疵，这些瑕疵会让渲染出来的物体看起来更真实。

使用微表面理论来模拟这些细节，比如使用一个法线贴图（Normal Map）来模拟表面的细节，这样可以让渲染出来的物体看起来更真实。

再比如，一个白色的磨砂金属表面，放大仔细看，会发现表面上实际上是各种颜色，这涉及到了波动光学的知识。

程序化生成

Procedural Appearance.

物体的表面材质是通过一些3D noise 函数生成出来的。

比如花瓶上的花纹，木头的纹理等等，这些都是通过一些3D noise 函数生成出来的。