《普林斯顿微积分读本》学习笔记

函数和图像

函数要满足垂线检验，任意一条垂直于 x 轴的直线最多只能和函数图像相交于一点，也就是说，一个 x 值只能对应一个 y 值。

水平线检验，如果一个函数的图像和某条水平线相交于多于一点，那么这个函数就没有反函数。

函数和其反函数的图像关于 \(y=x\) 对称。

奇函数关于原点对称，\(f(-x) = -f(x)\)，偶函数关于y轴对称，\(f(-x) = f(x)\)。

线性函数，形如 \(y=mx+b\) 的函数。

多项式函数，形如 \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\) 的函数，等式右侧叫 n 次多项式，n叫做多项式的次数，注意 n 不能是分数（也就是说式子不能带根号）。

二次函数的求根公式，\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。

有理函数，形如\(\frac{p(x)}{q(x)}\)的函数，其中 \(p\) 和 \(q\) 为多项式函数。

三角学

弧度和角度的关系：\(\theta = \pi = 180^{\circ}\)。

余割、正割和余切分别是 \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}, \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}, \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\)。

常用三角函数值：

	\(0\)	\(\pi/6\)	\(\pi/4\)	\(\pi/3\)	\(\pi/2\)
\(\sin\)	\(0\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos\)	\(1\)	\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\tfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\tan\)	\(0\)	\(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	未定义

毕达哥拉斯定理 和 勾股定理 是同一个定理。

参考角，射线和 x 轴的最小夹角，是个正值，不同于象限角，象限角是从x轴正方向逆时针旋转到射线所经过的角度，一般用 \(\theta\) 表示，如果是顺时针旋转，则用 \(-\theta\) 表示。

\(\sin(x)\) 和 \(\tan(x)\) 是奇函数，\(\cos(x)\) 是偶函数。

三角恒等式

\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

毕达哥拉斯定理：

\[\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\]

\[1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}\]

\[1 + \frac{1}{\tan^2(x)} = \frac{1}{\sin^2(x)}\]

互余，两个角之和为90度，则称这两个角互余，有一些三角函数是以“co”开头的，例如 \(\cos(x), \cot(x)\)，存在以下互余关系：

\[\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(x)\]

\[\tan(\frac{\pi}{2}-x) = \cot(x)\]

和差化积公式：

\[\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)\]

\[\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)\]

\[\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)\]

\[\cos(A-B) = \cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B)\]

积化和差公式：

\[\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]\]

\[\cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]\]

\[\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]\]

倍角公式：

\[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\]

\[\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)\]

“奇变偶不变，符号看象限”，任一角度都可以表示为 \(\theta = k\frac{\pi}{2} + \alpha\)，\(|{\alpha}|<\frac{\pi}{4}\) ，

• 当k为偶数时，函数名不变
• 当k为奇数时，函数名改变，即 \(\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot\)

然后在前面加上把 \(\alpha\)看成锐角时原函数值的符号。

极限

极限分五种，\(\lim\limits_{x \to a}, \lim\limits_{x \to a^+}, \lim\limits_{x \to a^-}, \lim\limits_{x \to +\infty}, \lim\limits_{x \to -\infty}\)，其中 x 趋近于 a 的极限分为双侧极限和单侧极限。

误解，一个函数不可能和他的渐近线相交，反例：\(y=\frac{sin(x)}{x}\)。

三明治定理（夹逼定理），如果函数f夹在函数g，h之间，当g，h在某一点a的极限值相同时，f在点a的极限也是这个值

两种极限不存在的情况（这里把正负无穷视为有效极限值）：

1. 函数图像不停振荡，不能收敛于某个值。
2. 函数在某点的左侧和右侧极限值不相等。

求解多项式极限

x -> a 时有理函数的极限

不定式

对有理函数求\(x \to a\)时的函数极限，还有可能算出 \(\frac{0}{0}\)，这叫“不定式” ，可以通过因式分解等方法对原函数做一个变形再去求极限值

对多项式型函数求\(x \to -\infty\)时的函数极限时，要注意，项的次数会影响项的正负

立方差公式：\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)

\(\frac{n}{0}\) 不一定意味着无穷

有理函数求\(x \to a\)时的函数极限，如果算出来是\(\frac{n}{0}\)，极限不一定是无穷，如果 x 在 a 两侧的值不同，则双侧极限不存在。

例如 \(\lim\limits_{x\to1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}\)，它在 x=1 处的极限是\(\frac{-5}{0}\)，但实际上它的双侧极限并不存在，左侧极限是\(+\infty\)，右侧极限是\(-\infty\)

用desmos把上面这个函数图像画出来：

x -> a 时平方根的极限

例如，以下极限如果直接代入5，会得到不定式\(\frac{0}{0}\)，

\[\lim\limits_{x \to 5} \frac{\sqrt{x^2-9}-4}{x-5}\]

可以通过分子分母同乘以分子的共轭表达式 \(\sqrt{x^2-9}+4\) 来化简。

共轭表达式，对于形如 \(a+b\) 的表达式，其共轭表达式为 \(a-b\)，反之亦然。

共轭表达式的乘积等于两个项的平方差，即 \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)。

复数共轭的乘积等于复数的模的平方，即若 \(z=a+bi\)，则 \(z\overline{z} = (a+bi)(a-bi)=a^2 + b^2\)。（乘积里面没有 \(i\)， 复数的乘法运算规则和实数不太一样）

x -> ∞ 时有理函数的极限

结果取决于分子和分母的最高次项的系数和次数，这个很容易理解，没什么好说的。

x -> ∞ 时多项式型函数的极限

注意，这里是多项式型函数，不是多项式函数，因为式子里有分数次数或者根号，式子看起来像个多项式。

例如，两个多项式型函数相除，

\[\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{16x^4 + 8}+3x}{2x^2+6x+1}\]

解法是，想办法给根号里加个分母 \(x^4\)，其他类似的极限都是这么化简。

x -> -∞ 时的极限

注意符号，尤其是带次数和根号的时候。

包含绝对值的极限

注意计算双侧极限

连续和可导

连续性

函数在某一点上连续时，必须满足在该点上左右极限存在且相等，并且等于函数在该点的值。

连续函数的常数倍仍然是连续的，两个连续函数的和、差、积、复合仍然是连续的，两个连续函数的商在分母不为零的情况下仍然是连续的。

介值定理，如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 异号，则存在 \(c \in (a,b)\) 使得 \(f(c)=0\)。

介值定理可以用来证明方程有解。

最大值与最小值定理，如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) 在该区间上必有最大值和最小值。

可导性

导数的几何意义是切线的斜率。（因为它实际上求的是切线和 x 轴夹角的 tan值）

导数公式：

\[ f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} \]

二阶导数：

\[ f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) \]

三阶导数：

\[ f'''(x) = f^{(3)}(x) = \frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d^3}{dx^3}(y) = \frac{d}{dx}\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) \]

极限不存在时，导数就不存在。

可导必定连续，连续不一定可导。

微分

我们常见的求导公式都可以使用导数的定义推导出来。

\(x^n\) 的导数：

\[ \frac{d}{dx}\left(x^n\right) = nx^{n-1} \]

常数的导数为零：

\[ \frac{d}{dx}(C) = 0 \]

求导法则

常数倍法则：

\[ \frac{d}{dx}(k \cdot f(x)) = k \cdot f'(x) \]

和差法则：

\[ \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x) \]

乘积法则：

\[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

更多变量的乘积法则：

\[ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)) = f'(x) \cdot g(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot g(x) \cdot h'(x) \]

每个变量必须得求导一次，然后乘上其他变量。

商：

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \]

链式求导法则：

\[ \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

换个写法：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

用导数求极限

导数本身是用极限定义的，所以有些极限可以通过导数来求解。

分段函数的导数

分段函数在分段连接点处也可以可导，但要满足：

1. 左右极限存在且相等（连续）
2. 左右导数存在且相等（光滑）

微分（Differentiation）

本章内容只有这么多，都在讲怎么求导。

微分就是求极其微小的函数变化率，也就是求导。

三角函数微分

三角函数极限

小数的情况

\[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

\[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \]

\[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \]

大数的情况

\[ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin (任何东西)}{x^\alpha} = 0, \quad \alpha > 0 \]

三角函数的导数

\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]

\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]

\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \]

简谐运动

简谐运动是指物体在某一平衡位置附近来回振荡的运动，例如弹簧振子。

弹簧振子的运动用到了三角函数，假设 \(x\) 是 弹簧振子在时刻 \(t\) 的位置，\(x\) 的方程大概可以写成：

\[x = 3\sin(4t)\]

一个有趣的函数

\[y = x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\]

这个函数在 \(x=0\) 处没有意义，我们将其做个扩展，

\[ f(x) = \begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \]

通过求 \(x = 0\) 左右两侧的极限可知，函数在 \(x=0\) 处连续。

然后我们能够求出 \(x \neq 0\) 时的导数：

\[ f'(x) = 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]

\(x=0\) 处的导数只能通过导数的定义来求，

\[ f'(0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} h\sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0 \]

但当我们求 \(x \to 0\) 时的导数极限时，发现左右极限都不存在，这意味着，函数在 \(x=0\) 处导数不连续。

从函数图像上来看，导数在 \(x=0\) 处为 \(0\)，而在 \(x=0\) 附近震荡得非常厉害。

这是一个本身连续且可导，但导数不连续的例子。

隐函数求导

隐函数是指没有显式表示为 \(y=f(x)\) 形式的函数。

考虑圆的方程 \(x^2 + y^2 = 4\)，求导数 \(\frac{dy}{dx}\)，可以这么做：

\[ \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(4) \]

\[ \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4) \]

\[ 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \]

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]

相关变化率

如果 x 和 y 是两个相关变量（比如体积和半径），我们知道 x 相对于时间 t 的变化率 \(\frac{dx}{dt}\)，想要求 y 相对于时间 t 的变化率 \(\frac{dy}{dt}\)，可以利用隐函数求导的方式来求。

指数函数和对数函数

对数函数 $ y = \log_b x $, 要求满足 \(b>0\) 且 \(b \neq 1\)。

指数法则

\[ b^0 = 1 \]

\[ b^x b^y = b^{x+y} \]

\[ \frac{b^x}{b^y} = b^{x-y} \]

\[ (b^x)^k = b^{kx} \]

对数法则

\[ \log_b (xy) = \log_b x + \log_b y \]

\[ \log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y \]

\[ \log_b (x^k) = k \log_b x \]

换底法则

\[ \log_b x = \frac{\log_k x}{\log_k b} \]

自然常数e

e是一个无理数，约等于2.71828。

e 来自于伯努利提出的复利计算，假设一家银行的年利率为 r ，本金为 A，一年计算 n 次复利，持续 t 年，那么 t 年后的总金额为：

\[A\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt} \]

假设本金为 1 元，年利率为 100% ，那么一年后的总金额为：

\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]

我们想看看，当每年计算复利的次数趋近于无穷大时（即 n 趋近于无穷大时），总金额是否存在一个上限，也就是下面这个极限是否存在：

\[\lim\limits_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]

这个极限是存在的，并且 e 代表的就是这个极限 ，即

\[ e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \]

还有以下事实：

\[\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^{n} = e^x \]

和

\[\lim\limits_{h \to 0} (1+xh)^{\frac{1}{h}} = e^x \]

这样，我们就可以计算任意利率下的金额了。

以 e 为底的对数称为自然对数，记作 \(\ln x\) 或 \(\log x\)。

指数和对数函数求导

\[ \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \]

\[ \frac{d}{dx}(log_b(x)) = \frac{1}{x \ln(b)} \]

\[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \]

\[ \frac{d}{dx}(b^x) = b^x \ln(b) \]

指数函数和对数函数极限

\[ \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^h -1}{h} = 1 \]

\[ \lim\limits_{h \to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1 \]

指数函数增长迅速，快于任何多项式函数：

\[ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0, \quad n \text{为任意正整数} \]

扩展为更一般的结论：

\[ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{多项式型}{指数为大的、正的多项式型的指数函数} = 0 \]

对数函数增长缓慢，慢于任何多项式函数：

\[ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0, \quad n \text{为任意正整数} \]

扩展为更一般的结论：

\[ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{任何正的多项式型的对数函数}{具有正的幂次的多项式型} = 0 \]

对数函数的另一个极限：

\[ \lim\limits_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0, \quad n \text{为任意正整数} \]

取对数求导法

\[ y = f(x)^{g(x)} \]

上面这种形式的函数，可以先对两边取对数，然后再做隐函数求导。

或者，可以将 \(y = f(x)^{g(x)}\) 改写为 \(y = e^{g(x) \ln(f(x))}\)，然后再求导。

指数增长和指数衰变

如果$ \frac{dy}{dx} = ky$，那么 \(y = Ae^{kx}\)，这说明，指数函数的值越大，它的变化率越大。

换个写法，可以得到指数增长方程：

\[ P(t) = P_0 e^{kt} \]

k 是增长常数。

同理，指数衰变方程：

\[ P(t) = P_0 e^{-kt} \]

k 是衰变常数。

放射性元素的衰变遵循指数衰变规律。

半衰期，是指某物质的数量衰变到原来一半所需要的时间，我们用 \(t_{1/2}\) 来表示半衰期，那么有以下关系：

\[ k = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \]

双曲函数

双曲余弦函数：

\[\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

双曲正弦函数：

\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

双曲正切函数：

\[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} \]

恒等式：

\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \]

微分：

\[\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x \]

\[\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x \]

和三角函数类似，双曲函数也能定义出余割、正割、余切等函数，这里略过。

反函数和反三角函数

反函数

前面讲过，如果一个函数图像有涨有跌，它不能通过水平线检验，就没有反函数，所以只有单调函数才有反函数，它的导数可以有某一点为零，但不能有一个区间的导数为零。

反函数的导数

反函数的导数可以用隐函数求导的方式得到，假设函数 \(f\) 有反函数 \(y = f^{-1}(x)\)，我们将其改写为 \(x = f(y)\)（这其实就是原函数），然后对两边做隐函数求导：

\[ \frac{d}{dx}(f(y)) = \frac{d}{dx}(x) \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)} \]

所以，反函数的导数实际上是原函数导数的倒数，只不过要将反函数的 y 值代入计算。

反三角函数

要使三角函数的反函数存在，我们必须限制反函数的作用域和值域。

反正弦函数 \(\sin^{-1} x\)是奇函数，它的定义域是 \([-1,1]\)，值域是 \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)。

\[ \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

反余弦函数 \(\cos^{-1} x\)不是奇函数也不是偶函数，它的定义域是 \([-1,1]\)，值域是 \([0, \pi]\)。

\[ \frac{d}{dx}(\cos^{-1} x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]

反正弦函数和反余弦函数存在以下关系：

\[ \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \]

反正切函数 \(\tan^{-1} x\)是奇函数，它的定义域是 \((-\infty, +\infty)\)，即实数域 \(R\)，值域是 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)。

\[ \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} \]

（反正割、反余割和反余切函数略过）

反双曲函数

反双曲余弦函数 \(\cosh^{-1} x\) 既不是奇函数也不是偶函数，它的定义域是 \([1, +\infty)\)，值域是 \([0, +\infty)\)。

\[ \frac{d}{dx}(\cosh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \]

反双曲正弦函数 \(\sinh^{-1} x\) 是奇函数，它的定义域和值域都是 \(R\)。

\[ \frac{d}{dx}(\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \]

反双曲正切函数 \(\tanh^{-1} x\) 是奇函数，它的定义域是 \((-1,1)\)，值域是 \(R\)。

\[ \frac{d}{dx}(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2} \]

其他略。

导数和图像

极值分全局极值和局部极值。

函数临界点，是指函数导数为零或不存在的点。

极值定理，最大值和最小值一定位于函数的临界点或区间端点处。

罗尔定理，如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 上可导，且 \(f(a) = f(b)\)，那么存在 \(c \in (a,b)\) 使得 \(f'(c) = 0\)。

中值定理（平均值定理，MVT），如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 上可导，那么存在 \(c \in (a,b)\) 使得

\[f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

二阶导数可以用来判断函数的凹凸性，如果 \(f''(x) > 0\)，则函数在该点是凹的（向上开口），如果 \(f''(x) < 0\)，则函数在该点是凸的（向下开口）。

函数凹凸性发生改变的点叫做拐点。

拐点处的二阶导数为零，但二阶导数为零的点不一定是拐点。

绘制函数图像

绘制函数图像要考虑对称性、x轴截距、y轴截距、定义域、垂直渐近线、水平渐近线、函数的正负、导数的正负、最大值和最小值、二阶导数的正负、拐点。

最优化和线性化

最优化

求全局最大值和最小值。

线性化

使用导数做估算。

对于函数 f，做 x=a 处的切线 L，这个线性函数 L 被称为 f 在 x=a处的线性化。

\[ f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) \]

如果我们令 \(\Delta x = x - a\)，那么线性化可以写成：

\[ f(a + \Delta x) \approx L(a + \Delta x) = f(a) + f'(a) \Delta x \]

当 \(\Delta x\) 很小时，\(f'(a) \Delta x\) 实际上就是 函数 f 的微分，即

\[ df = f'(a) \Delta x \]

例如，我们想估算 \(6.01^2\) 时，可以令 \(f(x) = x^2\)，\(a=6\)，\(\Delta x = 0.01\)，那么，估值为：

\[ \begin{aligned} f(6.01) &\approx L(6.01) \\ &= f(6) + f'(6) \cdot 0.01 \\ &= 36 + 12 \cdot 0.01 \\ &= 36.12 \end{aligned} \]

误差

设

\[ r(x) = f(x) - L(x) \]

r(x) 是 f 在 x=a 处的估计误差。

如果 x 和 a 之间存在 f 的二阶导数，那么存在这样一个公式：

\[ r(x) = \frac{1}{2}f''(c)(x-a)^2 \]

其中 c 是 x 和 a 之间的某个值。

r(x) 和 f''(c) 同号，所以如果 f 在区间上是凹的（即 f''(x) > 0, r(x)>0），那么我们的估算是低估，反之则是高估。

我们还能根据 f''(x) 的绝对值 在 x 和 a 之间的最大值 M 来估算误差最大绝对值：

\[ |r(x)| \leqslant \frac{1}{2}M(x-a)^2 \]

牛顿法

一种线性估计方法。

假设我们想要估算 \(f(x) = 0\) 的解，我们可以先猜一个近似解 \(a\)，然后计算该点处的切线与 x 轴的交点 \(b\)（切线的 x 轴截距），再用 \(b\) 作为新的近似解，重复这个过程，直到达到所需的精度为止。

即，

\[ b = a-\frac{f(a)}{f'(a)} \]

（求解前面提到的的切线方程 \(L(x) = f(a) + f'(x)(x-a)\) 的 x 轴截距即可得到 b。）

牛顿法会在以下几种情况下失效：

• f'(x) 非常小，接近于0，这会使得切线几乎平行于 x 轴，从而导致新的近似解偏离得非常远。
• f(x) 不只有一个解，可能得到的不是我们想要的解。
• 近似值越来越偏离实际值。
• 可能陷入循环出不来。

可以用牛顿迭代法估计 \(\sqrt 2\) 的值，令 \(f(x) = x^2 - 2\)，求解 \(f(x) = 0\) 即可。

洛必达法则

对于\(\frac{0}{0}\)和\(\frac{\infty}{\infty}\)两种不定式，可以使用洛必达法则来求极限。

洛必达法则：

\[ \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

积分（Integration）

伸缩级数：

\[ \sum_{n=a}^{b}(f(n)-f(n-1)) = f(b) - f(a-1) \]

定积分的定义：

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{mesh \to 0} \sum_{j=1}^{n} f(c_j) (x_j-x_{j-1}) \]

求和部分叫做黎曼和，这种求积分的方式叫做黎曼积分。

虽然黎曼积分有上和和下和等取值方法，但是对于一个可积函数来说， \(c_j\)可以取区间内的任意值。

定积分的性质

\[ \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx \]

\[ \int_a^a f(x) \, dx = 0 \]

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \]

\[ \int_a^b C f(x) \, dx = C \int_a^b f(x) \, dx \]

\[ \int_a^b [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx \]

求面积

定积分求的是有向面积。

求面积时要注意，求的是无向面积，是求函数绝对值的积分。

积分中值定理

如果函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续，那么在开区间 (a,b) 上至少存在一点 c，使得

\[ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \]

不可积的函数

如果一个函数有无穷多个不连续点，那么它可能是不可积的。

例如

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & x \text{为有理数} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases} \]

如果使用黎曼积分，取黎曼上和（取小区间内的最大值作为长方形的高）和黎曼下和（和上和相反）的结果是不同的，所以这个函数在任何区间上都不可积。

使用勒贝格积分可以解决这个问题，但这里不做展开。

微积分基本定理

微积分第一基本定理

如果函数 f 在区间 [a,b] 上连续，定义 F 为

\[ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt, x \in [a,b] \]

则 F 在区间 (a,b) 上可导，且 \(F'(x) = f(x)\)。

（注意，这里是个定积分）

我们说 F 是 f 的反导数。

微积分第二基本定理

如果函数 f 在区间 [a,b] 上连续，且 F 是 f 的任一反导数，则

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

不定积分

如果 \(\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\)，那么

\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]

例子

\[ \frac{d}{dx}\int_3^x \sin(t^2)dt = \sin(x^2) \]

\[ \frac{d}{dx}\int_x^7 t^3\cos(t\ln(t))dt = -\frac{d}{dx}\int_7^x t^3\cos(t\ln(t))dt \]

求以下微分：

\[ \frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \tan^{-1}(t^7+3t)dt \]

令 上式为 \(y\), 且\(u = x^2\)，则

\[ y = \int_0^u \tan^{-1}(t^7+3t)dt \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} \]

导数和积分公式

\[ \begin{array}{ll} \text{导数公式} & \text{积分公式} \\[4pt] \frac{d}{dx} x^{n} = n x^{\,n-1} & \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \\[4pt] \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \\[4pt] \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x} & \int e^{x} dx = e^{x} + C \\[4pt] \frac{d}{dx} a^{x} = a^{x}\ln a & \int a^{x} \, dx = \frac{a^{x}}{\ln(a)} + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a} & \int \frac{1}{x \ln a} dx = \log_a |x| + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \sin x = \cos x & \int \cos x \, dx = \sin x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x & \int \sin x \, dx = -\cos x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \tan x = \sec^{2} x & \int \sec^{2} x \, dx = \tan x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x & \int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^{2} x & \int \csc^{2} x \, dx = -\cot x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x & \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1} x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \cos^{-1} x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = -\cos^{-1} x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{1}{1+x^{2}} dx = \tan^{-1} x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \sec^{-1} x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}} dx = \sec^{-1} x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x & \int \cosh x \, dx = \sinh x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x & \int \sinh x \, dx = \cosh x + C \\[4pt] \frac{d}{dx} \tanh x = \operatorname{sech}^{2} x & \int \operatorname{sech}^{2} x \, dx = \tanh x + C \\[4pt] \end{array} \]

积分方法

换元法

例如，

\[ \int x^2 \cos(x^3)dx \int \cos(x^3)(x^2dx) = \int \cos t\frac{1}{3}dt = \frac{1}{3} \sin t + C = \frac{1}{3} \sin(x^3) + C \]

如果 f 是可导函数，那么

\[ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C \]

定积分换元的时候，也要更换积分上下限。

在换掉 \(\sqrt[n]{ax+b}\) 之前，设 \(t= \sqrt[n]{ax+b}\) 并对等式 \(t^n = ax+b\) 做隐函数求导，得到 \(dx\) 和 \(dt\) 之间的关系。

\[ \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = f(g(x)) + C \]

\[ \int (f' g + f g') dx = f g + C \]

\[ \int \frac{f' g - f g'}{g^{2}} dx = \frac{f}{g} + C \ (g\neq 0) \]

分部积分法

\[ \int udv = uv - \int vdu \]

部分分式

求有理函数积分 \(\int \frac{p(x)}{q(x)} dx\)，可以将其拆成多个分部，分别独立计算。

\[ \int \frac{1}{t^2 + a^2} dt = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{t}{a}\right) + C \]

三角函数积分

使用三角函数的恒等式将积分化简。

三角函数换元法：

类型1，\(\sqrt{a^2-x^2}\)，令 \(x = a \sin \theta\)，\(dx = a \cos \theta \, d\theta\)，\(a^2-x^2 = a^2 \cos^2 \theta\)。

类型2，\(\sqrt{a^2+x^2}\)，令 \(x = a \tan \theta\)，\(dx = a \sec^2 \theta \, d\theta\)，\(a^2+x^2 = a^2 \sec^2 \theta\)。

类型3，\(\sqrt{x^2 - a^2}\)，令 \(x = a \sec \theta\)，\(dx = a \sec \theta \tan \theta \, d\theta\)，\(x^2 - a^2 = a^2 \tan^2 \theta\)。

反常积分

反常积分是指在积分区间上函数无界，或者积分区间本身无界的积分，如果出现下面的情况，积分\(\int_a^bf(x)dx\)就是反常积分：

1. 函数 f 在区间 [a,b] 上无界
2. a 为负无穷或 b 为正无穷。

积分存在极限时，称该反常积分收敛，否则称其发散。

当 f(x) 仅在接近点 a 处无界时，

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_{a+t}^b f(x) \, dx \]

类似的，当 f(x) 仅在接近点 b 处无界时，

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \lim\limits_{t \to 0^+} \int_a^{b-t} f(x) \, dx \]

如果 f 在 a 和 b 之间的某个点 c 处无界，那么只需要分别计算 \(\int_a^c f(x) \, dx\) 和 \(\int_c^b f(x) \, dx\) 即可。

当积分区间无界时，例如 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\)，

\[ \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) \, dx \]

收敛性判别方法

积分 \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx\) 发散。

积分 \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} dx\) 收敛。

比较判别法，是一种判断反常积分的收敛性的方法，思路是利用另外一个反常积分做辅助判断，

如果 \(f(x) \geqslant g(x) \geqslant 0\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) \, dx\) 发散，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 也发散。

如果 \(0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)\) 且 \(\int_a^{+\infty} g(x) \, dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{+\infty} f(x) \, dx\) 也收敛。

上述 f(x) 和 g(x) 都是非负的。

极限比较判别法，使用另外一个在瑕点上走势相近的函数代替原函数去判断积分的收敛性，两个函数必须满足以下关系：

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \]

p判别法，p判决法的目的是使用相对简单的函数，来利用上述两种判别法来判断反常积分的收敛性。

\(\int^{\infty}\) 的情况，对于任何有限值 a > 0，积分

\[ \int_a^\infty \frac{1}{x^p}dx \]

在 p > 1 时收敛，在 p ≤ 1 时发散。

$\int_0 $ 的情况，对于任何有限制 a > 0，积分

\[ \int_0^a \frac{1}{x^p}dx \]

在 p < 1 时收敛，在 p ≥ 1 时发散。

绝对收敛判别法

用于负函数反常积分的收敛性判别，如果 \(\int_a^{b} |f(x)| dx\) 收敛，那么 \(\int_a^{b} f(x) dx\) 也收敛。

对无限区间上的反常积分同样适用。

注意，如果 \(\int_a^{b} |f(x)| dx\) 发散，那么 \(\int_a^{b} f(x) dx\) 也可能收敛。

收敛性判别的一些已知结论

下面给出一些等价函数（相似函数）的例子，等价函数是指满足上述极限比较判别法的函数，即两个函数相除的极限为1。

常见函数在无穷大处的表现

对所有 x > 0，

\[e^{-x} \leqslant \frac{C}{x^n}\]

对所有 x > 1，

\[\ln(x) \leqslant C x^\alpha\]

常见函数在0附近的表现

对于多项式函数，最低次幂在 x -> 0 时有决定作用，如果 p(x) 的最低次项是 \(bx^m\)，则当 x -> 0，p(x) ~ \(bx^m\)。

对于三角函数，当 x -> 0 时，\(\sin(x) \sim x\)，\(\tan(x) \sim x\)，\(\cos(x) \sim 1\)。

对于指数函数，当 x -> 0时，\(e^x-1 \sim x\)。

对于对数函数，对于所有 0 < x < 1，\(|\ln(x)| \leqslant \frac{C}{ x^{\alpha}}\)。

更一般的，如果一个函数有在0附近收敛于该函数的麦克劳林级数，则函数在 x->0 时渐进等价于级数的最低次项，例如，我们知道 x->0 时，\(\cos(x) \sim x\)，但是 \(1-\cos(x)\) 等价于哪个函数呢？将\(\cos(x)\) 做麦克劳林级数展开，

\[ \cos(x) = 1- \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-... \]

\[ 1-\cos(x) = \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}-... \]

可见，当 x->0 时，\(1-\cos(x) \sim \frac{x^2}{2}\)。

数列和级数

（个人理解：数列可以看作是离散化的函数，级数可以看作是离散化的积分）

数列

有无穷个项的数列叫无穷数列。

数列经常由一个公式给出，例如：

\[a_n = \frac{\sin(n)}{n^2}, n=1,2,3,... \]

函数的很多性质，对数列同样适用，例如夹逼定理、洛必达法则等。

两个重要数列

等比数列，\(a_n = r^{n}\)

$\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{k}{n})^n = e^k $

级数

级数就是数列的和。

无穷级数定义如下，

\[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim\limits_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_n \]

极限存在则级数收敛，极限不存在，则级数发散。

等比数列 / 几何级数

等比数列求和公式，

\[ \sum_{n=0}^{N} r^n = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} \quad (r \neq 1) \]

这个级数叫几何级数。

如果 -1 < r < 1，\(\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}\)。

否则，级数发散。

无穷级数收敛性判别

第n项判别法

如果 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n \neq 0\)，那么级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散。

级数 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)收敛，\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}\)发散。

比较判别法和极限比较判别法

和反常积分的收敛性判别方法一样，只不过比较的是数列的项而不是函数。

p判别法

和反常积分的p判别法类似，当 a>0 时

\[ \sum_{n=a}^{\infty} \frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{收敛} & p > 1 \\ \text{发散} & p \leqslant 1 \end{cases} \]

调和级数：

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \]

比式判别法

对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，定义

\[ b_n = \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

如果 \(b_n\) 收敛于一个小于1的数，则级数收敛，并且绝对收敛（绝对值收敛），如果 \(b_n\) 收敛于一个大于1的数，则级数发散，如果 \(b_n\) 收敛于1 或不收敛，则无法判断级数的收敛性。

级数中包含阶乘，可用比式判别法。

根式判别法

对于级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，定义

\[ b_n = \sqrt[n]{|a_n|} \]

如果 \(b_n\) 收敛于一个小于1的数，则级数收敛且绝对收敛，如果 \(b_n\) 收敛于一个大于1的数，则级数发散，如果 \(b_n\) 收敛于1 或不收敛，则无法判断级数的收敛性。

积分判别法

把数列 \(a_n\) 看作是函数 f，如果 f 是非增函数，则\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 和 \(\int_1^{\infty} f(x) \, dx\) 收敛性相同。

交错级数判别法

条件收敛，当一个级数收敛，但是其绝对值形式发散，我们称它为条件收敛。

级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1^n}{n}\) 条件收敛。

交错级数是指级数的项符号交替变化的级数。

如果一个交错级数各项的绝对值趋于0，并且绝对值递减，则级数收敛。

泰勒多项式、泰勒级数和幂级数

由前述内容可知，函数 f(x) 在 (a,f(a)) 处的 线性近似为

\[ y = f(a) + f'(a)(x-a) \]

泰勒多项式（函数的高阶近似）

如果函数 f 在 x=a 处光滑，那么在 x=a 处最近似于 f(x) 的 n次多项式为

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

用求和符号表示为

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]

我们将 \(P_n(x)\) 称为函数 f 在 x=a 处的 n 阶泰勒多项式。

我们使用 \(R_n(x)\) 表示泰勒多项式和函数 f 之间的误差，\(R_n(x)\) 被称为 n 阶误差项，也称为 n 阶余项。

泰勒定理

关于 x=a 的 n 阶余项为：

\[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

其中 c 是 a 和 x 之间的某个值。

\[ f(x) = P_n(x) + R_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

如果令 n = 0，则 \(f(x) = f(a) + f'(c)(x-a)\)，这实际上就是中值定理，可见，泰勒定理是中值定理的推广。

当我们给出一个函数的 n 阶泰勒多项式近似时，我们可以根据 n 阶余项的最大值来判断近似的精度（即误差最大不超过多少）。

一般幂级数

幂级数是指级数的项中包含 \(x^n\) 的无穷级数。

幂级数在 x=0 处的一般表达式：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]

（为什么要强调 x=0 处呢？因为幂级数在 x=0 处是必然收敛的，这是个特例，而在其他的 x 值处，级数不一定收敛）

我们将幂级数扩展到 x=a 处后的一般表达式：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \]

在x=a 处幂级数收敛，a 叫做幂级数的中心。

泰勒多项式的无穷形式称为函数f 关于 x=a 的泰勒级数，它也是个幂级数，其系数为 \(\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\)。

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

（注意，泰勒多项式和泰勒级数的区别在于，（1）前者是有限项多项式，后者是无穷项级数（2）泰勒级数不包含余项）

麦克劳林级数

函数 f 关于 x=0 的泰勒级数叫做 f 的麦克劳林级数。

\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

泰勒级数的收敛性

如果能证明 N 趋于无穷大时，泰勒余项的极限为0，则函数 f(x) 等于其泰勒级数（即泰勒级数在f(x)的定义域范围内都收敛，且收敛于f(x)，而不仅仅只在x=a处收敛）。

由此，我们可以得到一些函数的泰勒级数展开：

\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... \]

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... \]

一个有用的极限

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = 0 $$ 书中额外提升到了麦克劳林级数和二项式定理的一个关联，对于\((a+b)^n\)，当n 不是正整数时，二项式展开不再是有限的多项式，而是变成了一个无穷级数，这叫牛顿广义二项式定理。对于\((1+x)^n这种形式，\)只有当 \(|x|<1\) 时无穷级数级数收敛，当 \(n = \frac{1}{2}\) 时，\((1+x)^n\) 的广义二项式展开恰好就是麦克劳林级数展开。

利用泰勒级数估算

方法1

使用泰勒多项式估算，通过计算余项的最大值来控制误差。

方法2

如果泰勒级数是交错级数，满足交错级数判别法的条件（级数项符号交错、绝对值递减、绝对值趋于0），并且在 x 的某些特定值处收敛于 f(x)，那么存在一个已知结论：泰勒余项的绝对值小于下一项的绝对值，即

\[ |R_n(x)| \leqslant \left|\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{N+1}\right| \]

这里面不存在不确定的 c，所以可以用这个方法来估算误差。

泰勒级数和幂级数问题

幂级数的收敛性

定义以下幂级数

\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \]

对于幂级数来说，我们不知道它在某个 x 值处是否收敛（除了幂级数中心），但事实上，幂级数的收敛性有以下三种情况：

1. 存在某数 R >0，被称为幂级数的收敛半径，当 \(|x-a| < R\) 时，级数收敛，当 \(|x-a| > R\) 时，级数发散。当 \(|x-a| = R\) 时，级数可能绝对收敛、条件收敛或者发散，需要对 x = a+R 和 x = a-R这两个点进行单独判断。
2. 幂级数对所有 x 绝对收敛，这种情况我们说收敛半径为 \(\infty\)，例如 \(e^x\)、\(\cos(x)\)、\(\sin(x)\) 的麦克劳林级数。

求幂级数的收敛半径

使用比式判别法或根式判别法。

比式判别法：

\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-a)^{n+1}}{a_n (x-a)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right||x-a| \]

根式判别法：

\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n (x-a)^n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} |x-a| \]

不管是哪种方法，结果一定是 \(L|x-a|\) 这种形式，因此，根据比式和根式判别法，

1. 如果 L 不为0，当 \(|x-a| < 1/L\)，幂级数绝对收敛，当 \(|x-a| > 1/L\)，幂级数发散，当 \(|x-a| = 1/L\)，需要讨论两个端点。收敛半径为 1/L。
2. 如果 L 为 0，收敛半径为 \(\infty\)，即不管x为什么值，幂级数都收敛。
3. 如果 L 为 \(\infty\)，收敛半径为 0，即只有当x =a时，幂级数收敛。

用已有泰勒级数得到新的泰勒级数

五个常用麦克劳林级数

\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

对所有 x 都成立。

\[ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

对所有 x 都成立。

\[ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \]

对所有 x 都成立。

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \]

当 \(-1 < x < 1\) 时成立。

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} \]

\[ \ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \]

当 \(-1 < x < 1\) 时成立，第一个公式对 x=1 也成立，第二个公式对 x=-1 也成立。

代换

可以将 \(x\) 换为 \(x^n\) 得到新的麦克劳林级数，例如

\[ e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^2)^{n}}{n!} \]

注意 x 的取值范围，例如，如果原麦克劳林级数只在 \(|x|<1\)时成立，那么代换后新的麦克劳林级数只在 \(|x^n|<1\) 时成立。

将 x 代换为 x-a 可以得到关于 x=a 的泰勒级数，并且函数变成了 f(x-a)，不再是 f(x)。

代换同样可以用于泰勒多项式，但要注意阶数，将 \(x\) 代换为 \(x^2\)，后，\(e^x\) 的三阶泰勒多项式变成了 \(e^{x^2}\) 的六阶泰勒多项式。

求导

如果幂级数收敛于开区间(a,b)上的可导函数f，对幂级数逐项求导，可得到一个在相同区间上收敛于f'的新幂级数，新幂级数在区间端点上的收敛性仍需要单独讨论。

求导也可以用于泰勒多项式，阶数在求导前后会发生变化。

求积分

对泰勒级数逐项积分，新的级数和原级数收敛区间一致，端点除外。

积分也可以用于泰勒多项式，阶数在积分前后会发生变化。

加减乘除

计算完得到的新泰勒级数，在两个原泰勒级数的收敛区间的交集内一定收敛。

如果是对泰勒多项式做加减乘除，他们的阶数要相等。

利用幂级数和泰勒级数求导数

泰勒级数关于 x=a 的第n项系数为

\[ a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \]

如果我们知道\(a_n\)，就能得到 \(f^{(n)}(a)\)，这就是利用幂级数和泰勒级数求导数的思路。

利用麦克劳林级数求极限

有时会遇到一些极限，直接代入值会得到不定式，这时可以将分子分母同时展开成麦克劳林级数，然后取前几项来计算极限，前提是分子分母的麦克劳林阶数要相等。

参数方程和极坐标

参数方程

假设 x 和 y 都是参数 t 的函数，例如 x = cos(t)，y = sin(t)，那么这两个方程就叫参数方程。

（根据隐函数求导规则）由于

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} \]

因此

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{y'(t)}{x'(t)} \]

极坐标

极坐标系中，由 \((r,\theta)\) 确定一个点，其中 r 是点到原点的距离，θ 是点与 x 轴正方向沿逆时针旋转的夹角。

极坐标和直角坐标的转换关系：

\[ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \]

\[ r^2 = x^2 + y^2 \\ \tan\theta = \frac{y}{x} \]

一些有名的极坐标方程：

心形线：

\[ r = 1 + \cos \theta \]

阿基米德螺线：

\[ r = a \theta \]

求极坐标曲线的切线

假设极坐标曲线为 \(r = f(\theta)\)，则

\[ x = r \cos \theta = f(\theta) \cos \theta \\ y = r \sin \theta = f(\theta) \sin \theta \]

因此，

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y'(\theta)}{x'(\theta)} \]

求极坐标曲线围成的面积

\[ \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{1}{2}r^2d\theta \]

复数

\[ i^2 = -1 \\ (-i)^2 = -1 \]

形如 \(yi\) 的数叫做虚数，形如 \(x + yi\) 的数叫做复数，全体复数域记作 \(\mathbb{C}\)。

令 \(z = x+ yi\)， 则实部记作 \(x = Re(z)\)，虚部记作 \(y = Im(z)\)。（注意，虚部是 y，而不是 yi）

复数的加减法是将实部和虚部分别相加减。

复数的乘法是将两个复数按乘法分配律展开，然后将 \(i^2\) 替换为 -1。

若 \(z = x + yi\)，则其共轭复数为 \(\overline{z} = x - yi\)。

定义 z 的模为 \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)。

\[ z\overline{z} = (x + yi)(x - yi) = x^2 + y^2 = |z|^2 \]

复数除法，分子分母同时乘以分母的共轭复数。

复指数运算，\(e^ze^w = e^{z+w}\)

复平面

复数 z 可以表示为笛卡尔坐标系下的点 (x,y)，也可以表示为极坐标系下的点 \((r,\theta)\)，其中 \(r = |z|\)，\(\theta = \arg(z)\)。

欧拉公式

如果一个复数通过复平面上的极坐标\((r,\theta)\)给出，则

\[ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = x + yi = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

欧拉给出了一个重要公式：

\[ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta \]

换个写法：

\[ x + yi = r e^{i \theta} \]

我们将 \(r e^{i \theta}\) 称为复数 z 的极坐标形式。

一个特殊的值：

\[ e^{i\pi} = -1 \]

极坐标形式的复数方便用来计算复数乘法和幂运算。

\(e^{i\theta}\) 以 2π 为周期，因此对于任意整数 k，

\[ e^{i\theta} = e^{i(\theta+2k\pi)} \]

方程 \(z^n = w\) 的解

一般地，方程 \(z^n = w\) 有 n 个解，当画出这些解时，它们的顶点形成了一个正 n 边形，这些解叫做 w 的 n 次根。

用上述极坐标形式复数代入方程，再利用\(e^{i\theta}\)的周期性规律，就能得出上面的结论。

方程 \(e^z = w\) 的解

\(e^z\) 本身就是极坐标形式，\(e^z = e^{x+yi} = e^xe^{yi}\)，\(r=e^x\)，\(\theta = y\)。

三角级数

三角级数是形如下面这样的级数：

\[ \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \cos (n x) + b_n \sin (n x)) \]

我们可以将三角级数转换为复数形式（加个虚部），简化计算。

欧拉公式和幂级数

利用 \(e^x\) 的麦克劳林展开可以得到 \(e^{i\theta}\) 的展开形式，进而得到 \(\cos x\) 和 \(\sin x\) 的麦克劳林级数展开。

体积、弧长和表面积

求旋转体体积

圆盘法和壳法（柱壳法）

一般立体体积

选定一个轴，沿该轴对立体进行切片，得到的每个切片的面积为 A(x)，则立体的体积为

\[ V = \int_{a}^{b} A(x) dx \]

弧长

\[ 弧长 = \int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \]

速率

假设在时间 t 处的位置是 \((x(t),y(t))\)，则在时间 t 的速率为

\[ 速率 = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \]

旋转体的表面积

关于 x 轴旋转：

\[ 表面积 = \int_{a}^{b} 2\pi y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \]

微分方程

微分方程是包含导数的方程。

微分方程中最大的导数阶数就是微分方程的阶数。

可分离变量微分方程

如果能把一阶微分方程所有关于 y 的部分放到一边，所有关于 x 的部分放到另一边，那么这个微分方程就是可分离变量微分方程。

例如，\(dy/dx = ky\) 可以写成

\[\frac{1}{ky} dy = dx\]

计算的方法是两边加积分号求积分，然后整理求y。

这个方程的通解为

\[y = Ae^{kx}\]

一阶线性方程

一阶线性微分方程的标准形式为

\[ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) \]

p 和 q 是 x 的函数，这样的方程称为一阶线性微分方程。

解法：

1. 两边乘以积分因子 \(f(x) = e^{\int p(x) dx}\)
2. 左边变为 \(\frac{d}{dx}(f(x)y)\)
3. 两边积分，在右边加上 \(C\)
4. 解出 y，得到通解

常系数微分方程

常系数微分方程是指微分方程中各项的系数都是常数，形如

\[ a_n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dx} + a_0 y = f(x) \]

如果方程右边没有关于x的部分，即 \(f(x) = 0\)，则称为齐次常系数微分方程，否则称为非齐次常系数微分方程。

解二阶齐次方程

\[ a \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]

1. 写出特征方程 \(a r^2 + b r + c = 0\)
2. 若有两个不同实根 \(\alpha\) 和 \(\beta\)，则解为 \(y = A e^{\alpha x} + B e^{\beta x}\)
3. 若有一个重根 \(\alpha\)，则解为 \(y = (A + B x) e^{\alpha x}\)
4. 若有一对共轭复根 \(\alpha \pm \beta i\)，则解为 \(y = e^{\alpha x} (A \cos \beta x + B \sin \beta x)\)

一、二阶非齐次方程的解法

1. 先求出齐次方程的通解 \(y_H\)。
2. 再求出非齐次方程的一个特解 \(y_P\)
3. 非齐次方程的通解为 \(y = y_H + y_P\)。

求特解的方法

1. 先查表，写出特解形式
2. 将特解形式代入非齐次方程，解出未知系数
3. 如果特解形式和齐次方程的通解有重复，则将特解形式乘以 x 的适当幂次，直到不重复为止。