微积分学习笔记
主要参考《普林斯顿微积分读本》
这篇笔记主要记录微积分中的一些定义、定理和结论。
函数和图像
函数要满足垂线检验，任意一条垂直于 x 轴的直线最多只能和函数图像相交于一点，也就是说，一个 x 值只能对应一个 y 值。
函数和其反函数的图像关于 \(y=x\) 对称。
奇函数关于原点对称，\(f(-x) = -f(x)\)，偶函数关于y轴对称，\(f(-x) = f(x)\)。
线性函数，形如 \(y=mx+b\) 的函数。
多项式函数，形如 \(p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\) 的函数，等式右侧叫 n 次多项式，n叫做多项式的次数，注意 n 不能是分数（也就是说式子不能带根号）。
二次函数的求根公式，\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。
有理函数，形如\(\frac{p(x)}{q(x)}\)的函数，其中 \(p\) 和 \(q\) 为多项式函数。
三角学
弧度和角度的关系：\(\theta = \pi = 180^{\circ}\)。
余割、正割和余切分别是 \(\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}, \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}, \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\)。
常用三角函数值：
| \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \(0\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\tan\) | \(0\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | 未定义 |
毕达哥拉斯定理 和 勾股定理 是同一个定理。
参考角，射线和 x 轴的最小夹角，是个正值，不同于象限角，象限角是从x轴正方向逆时针旋转到射线所经过的角度，一般用 \(\theta\) 表示，如果是顺时针旋转，则用 \(-\theta\) 表示。
\(\sin(x)\) 和 \(\tan(x)\) 是奇函数，\(\cos(x)\) 是偶函数。
三角恒等式
毕达哥拉斯定理：
互余，两个角之和为90度，则称这两个角互余，有一些三角函数是以“co”开头的，例如 \(\cos(x), \cot(x)\)，存在以下互余关系：
和差化积公式：
积化和差公式：
倍角公式：
“奇变偶不变，符号看象限”，任一角度都可以表示为 \(\theta = k\frac{\pi}{2} + \alpha\)，\(|{\alpha}|<\frac{\pi}{4}\) ，
- 当k为偶数时，函数名不变
- 当k为奇数时，函数名改变，即 \(\sin \leftrightarrow \cos, \tan \leftrightarrow \cot\)
然后在前面加上把 \(\alpha\)看成锐角时原函数值的符号。
极限
极限分五种，\(\lim\limits_{x \to a}, \lim\limits_{x \to a^+}, \lim\limits_{x \to a^-}, \lim\limits_{x \to +\infty}, \lim\limits_{x \to -\infty}\)，其中 x 趋近于 a 的极限分为双侧极限和单侧极限。
误解，一个函数不可能和他的渐近线相交，反例：\(y=\frac{sin(x)}{x}\)。
三明治定理（夹逼定理），如果函数f夹在函数g，h之间，当g，h在某一点a的极限值相同时，f在点a的极限也是这个值
两种极限不存在的情况（这里把正负无穷视为有效极限值）：
- 函数图像不停振荡，不能收敛于某个值。
- 函数在某点的左侧和右侧极限值不相等。
求解多项式极限
x -> a 时有理函数的极限
不定式
对有理函数求\(x \to a\)时的函数极限，还有可能算出 \(\frac{0}{0}\)，这叫“不定式” ，可以通过因式分解等方法对原函数做一个变形再去求极限值
对多项式型函数求\(x \to -\infty\)时的函数极限时，要注意，项的次数会影响项的正负
立方差公式：\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
\(\frac{n}{0}\) 不一定意味着无穷
有理函数求\(x \to a\)时的函数极限，如果算出来是\(\frac{n}{0}\)，极限不一定是无穷，如果 x 在 a 两侧的值不同，则双侧极限不存在。
例如 \(\lim\limits_{x\to1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}\)，它在 x=1 处的极限是\(\frac{-5}{0}\)，但实际上它的双侧极限并不存在，左侧极限是\(+\infty\)，右侧极限是\(-\infty\)
用desmos把上面这个函数图像画出来：
x -> a 时平方根的极限
例如，以下极限如果直接代入5，会得到不定式\(\frac{0}{0}\)，
可以通过分子分母同乘以分子的共轭表达式 \(\sqrt{x^2-9}+4\) 来化简。
共轭表达式，对于形如 \(a+b\) 的表达式，其共轭表达式为 \(a-b\)，反之亦然。
共轭表达式的乘积等于两个项的平方差，即 \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)。
复数共轭的乘积等于复数的模的平方，即若 \(z=a+bi\)，则 \(z\overline{z} = (a+bi)(a-bi)=a^2 + b^2\)。（乘积里面没有 \(i\)， 复数的乘法运算规则和实数不太一样）
x -> ∞ 时有理函数的极限
结果取决于分子和分母的最高次项的系数和次数，这个很容易理解，没什么好说的。
x -> ∞ 时多项式型函数的极限
注意，这里是多项式型函数，不是多项式函数，因为式子里有分数次数或者根号，式子看起来像个多项式。
例如，两个多项式型函数相除，
解法是，想办法给根号里加个分母 \(x^4\)，其他类似的极限都是这么化简。
x -> -∞ 时的极限
注意符号，尤其是带次数和根号的时候。
包含绝对值的极限
注意计算双侧极限
连续和可导
连续性
连续函数的常数倍仍然是连续的，两个连续函数的和、差、积、复合仍然是连续的，两个连续函数的商在分母不为零的情况下仍然是连续的。
介值定理，如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 异号，则存在 \(c \in (a,b)\) 使得 \(f(c)=0\)。
介值定理可以用来证明方程有解。
最大值与最小值定理，如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则 \(f\) 在该区间上必有最大值和最小值。
可导性
导数的几何意义是切线的斜率。（因为它实际上求的是切线和 x 轴夹角的 tan值）
导数公式：
二阶导数：
三阶导数：
极限不存在时，导数就不存在。
可导必定连续，连续不一定可导。